چکیده:
اکثر ریاضیدانان معاصر، نظریه مجموعههای فوقمتناهی کانتور (Cantor’s transfinite set theory) را پذیرفتهاند. در این نظریه، برهان قطری کانتور از اهمیت ویژهای برخوردار بوده و دارای کاربردهای بسیار جالب و عجیبی است. جهت شناخت ماهیت برهان قطری و همچنین ارزیابی میزان ارزش و اعتبار این برهان، بهتر است برهان قطری در مسالهای بهکار گرفته شود که شامل مفاهیم و مقدماتی کمتر و بدیهیتر باشد. ازاینرو در این مقاله، برهان قطری را جهت اثبات یک قضیه فلسفی بهکار گرفتهایم. فلسفی بودن مساله مورد مطالعه موجب شده است تا برهان قطری ارائهشده، تنها بر مفاهیمی مانند "شیء"، "ترتیب" و "نامتناهی بالفعل" استوار باشد و نیازی به استفاده از مفاهیم پیچیدهتر ریاضیاتی موجود در برهان قطری ارائهشده توسط کانتور وجود نداشته باشد. روشن میشود که ارزش و اهمیت فلسفی برهان قطری ارائهشده، کمتر از براهینی مانند تطبیق، طرف و وسط، سلّمی، مسامته و براهینی از این دست نیست.
Most contemporary mathematicians have accepted Cantor's transfinite set theory. In this theory, Cantor's diagonal argument holds special significance and has many interesting and unusual applications. To understand the nature of the diagonal argument and to assess its value and credibility, it's better to employ the diagonal argument in a problem that involves fewer but more self-evident concepts and preliminaries. Therefore, in this article, we have used the diagonal argument to prove a philosophical problem. The philosophical nature of the problem under study has led the presented diagonal argument to be based solely on concepts such as "object", "order", and "actual infinity" without the need for the more complex mathematical concepts presented by Cantor's diagonal argument. It becomes clear that the philosophical value and significance of the presented diagonal argument is not any less than proofs like the proof of correspondence (tatbiq), the proof of endpoint and midpoint (taraf wa wasat), the proof of ladder (sullami), the proof of convergence (musamatah) and other similar proofs.
خلاصه ماشینی:
بررسی اهمیت فلسفی برهان قطری کانتور سید سعید میراحمدی 1 ، رحمان احترامی 2 چکیده اکثر ریاضیدانان معاصر، نظریه مجموعههای فوقِمتناهی کانتور (Cantor’s transfinite set theory) را پذیرفتهاند.
فلسفی بودن مسأله مورد مطالعه موجب شده است تا برهان قطری ارائهشده، تنها بر مفاهیمی مانند "شیء"، "ترتیب" و "نامتناهی بالفعل" استوار باشد و نیازی به استفاده از مفاهیم پیچیدهتر ریاضیاتیِ موجود در برهان قطری ارائهشده توسط کانتور وجود نداشته باشد.
با توجه به اینکه برهان قطری کمتر در حوزه هستیشناسی و فلسفه بهکار گرفته شده است، به نظر میرسد که برخی از ظرفیتهای فلسفی این برهان آشکار نشده و شاید به همین دلیل است که برخی از فلاسفه تمایلی به بررسی صحت و اعتبار این برهان و نتایج مترتب بر آن نشان ندادهاند.
در قسمت 3 روشن خواهد شد که ارزش و اهمیت فلسفی برهان قطری ارائهشده جهت اثبات امتناع «نامتناهی بالفعل» کمتر از براهینی مانند تطبیق، طرف و وسط، سُلّمی، مُسامته و براهینی از این دست نیست.
با توجه به اینکه استفاده از برهان قطری کانتور فقط برای مجموعههای نامتناهی بالفعل صحیح و نتیجهبخش است (میراحمدی، 1396، ص88-93)، ابتدا به نظر برخی از فلاسفه و ریاضیدانان درباره امکان یا امتناع نامتناهی بالفعل اشاره میکنیم.
2. بهکارگیری برهان قطری کانتور در اثبات یک قضیه فلسفی با فرض پذیرش «نامتناهی بالفعل»، روشن است که بین مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد زوج، تناظری یکبهیک برقرار است 5 و یا بهعبارت دیگر، این دو مجموعه با یکدیگر برابرند.
یعنی اینکه وجود تناظری یکبهیک بین این مجموعه و مجموعهای نامتناهی بالفعل از همه اعداد طبیعی (در صورت امکان چنین مجموعهای) غیر ممکن است.